Login
 

Matematik

Yüksek Lisans Programı

DERSLER

GÜZ DÖNEMİ

MATH 511 Kümeler Kuramı I. Aksiyomatik kümeler kuramı. Çarpım uzayları. Fonksiyonlar, sym(X), bağıntılar, sıralamalar, eşitlik bağıntıları, bölüm uzayı, bölüm fonksiyonları, yapılar, morfizma, otomorfizmalar. Kapanis operatörleri ve dersin hocası tarafından seçilen diğer konular.

MATH 515 Cebir I. Gruplar, altgrup, devirsel gruplar, permütasyon grupları, abelyen gruplar, grupların direkt toplamı ve çarpımı, Cauchy ve Lagrange teoremleri, normal altgrup, bölüm grubu, grup morfizma ve izomorfizmaları, çekirdek, imge, grup teorisinin temel teoremleri. Yarıçarpım. Üreteçler ve ilişkiler. Grup etkisi. Sylow altgrupları ve teoremi. Halkalar Kuramı: Halkalar, althalkalar, idealler, ideallerle işlemler, bölüm halkası, morfizmalar, çekirdek, izomorfizmalar, temel teoremler. Polinom, tamsayı ve kuvvet serileri halkaları. Öklid algoritması. Tamlık bölgeleri. Karakteristik. Abelyen grupların endomorfizmaları. Asal ve maksimal idealler, maksimal ideallerin varlığı. TÜİB'ler, Öklid bölgeleri, TÇB'ler ve Noether halkaları. Hilbert taban teoremi. Cisimler Kuramı: Sonlu cisimler, bölüm cisimleri. Cisim genişlemeleri. Cebirsel kapanış. Gauss tamsayıları ve sayı cisimleri. Modüller Kuramı: Modüller ve vektör uzayları, altmodüller, indirgenemez altmodüller, Schur önsavı, lineer bağımsızlık, üreteçler, özgür modüller, taban, boyut, morfizmalar, matris halkaları, tersinir matrisler, taban değişimi, lineer denklem sistemleri. Eigen-values ve eigen-vectors. Diagonalleşme. Jordan doğal formu. Matrislerin karakteristik ve minimal polinomları. Cayley-Hamilton teoremi. Abelyen gruplar: Sonlu eleman tarafından gerilmiş abelyen grupların sınıflandırılması. Bölünebilir abelyen gruplar, abelyen grupların saf altgrupları. Sonlu abelyen grupların endomorfizmaları ve otomorfizmaları Prüfer p-grupları, p-sel sayılar. Tensor çarpımı ve dış cebir. Çifte doğrusal ve kuadratik formlar. Düal vektör uzayları.

MATH 545 Grup Theory. Halkalar kuramıyla ilgili genel tekrar. Polinom halkaları ve cisim genişlemeleri. Cetvel ve pergel (imkansızlık teoremleri). Polinomların parçalanış cisimleri. Normallik ve ayrılabilirlik.  İlkel eleman teoremi. Galois grubu ve Galois teorisinin temel teoremi. Q üzerinde devirli polinomlar. Sonlu gruplarla ilgili bazı teoremler. Polinom denklemlerinin radikaller yardımıyla çözülmesi. Köklerin permütasyon grubu olarak Galois grubu. İnşa edilebilir düzgün n-genler. Cebirin Temel Teoremi. Sonlu cisimler. Mod-p indirgemesi ve Dedekind teoremi. Cisimlerin transendental genişlemeleri ve transendentallık bazı.

MATH 581 Analiz I.  Reel sayıların aksiyomatik davranışları ve özellikleri. Reel sayılar sisteminin tekliği. Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar. Reel sayılar üzerine polinomlar ve rasyonel fonksiyonlar. Reel sayılar üzerine vektor uzayları. Oklit uzayı Rn, açı, sinus, kosinus. Karmaşık sayılar. Soyut metrik uzayları. Topolojinin temelleri. Herhangi bir uzayda diziler. Limitler. Bolzano-Weierstrass Teorem. Reel sayıların tamlığı. Içiçe arlıklar teoremi. Sonsuza ıraksama. Oklit uzayda seriler. Alterne seriler. Mutlak yakınsama. Yakınsaklık testleri. Limit ve süreklilik. Ortalama Değer Teoremi. Türev ve türev alma kuralları. Roolle Teorem. L'Hospital Kuralı. Eğri çizimleri, maksimum ve minumum.

MATH 583 Analiz III. Doğrusal aralıklar. Parametrik denklemler, kutupsal koordinatlar. Eğri çizimleri. Heine-Borel teoremi. Rn de bağlantılı ve kompak kümeler. Çok değişkenli fonksiyonlarda limit ve süreklilik. Yönsel ve kısmi türevler, total differansiyel, zincir kuralı. Cr. sınıfında fonksiyonlar. Çok değişkenli vektörel değerli fonksiyonlar. Vektör ve matris metotlarını kullanarak çok değişkenli fonksiyonların hesaplaması, ters ve tam fonksiyon teoremleri.

MATH 613 Logic.  Bu, ileri seviye bir matematiksel mantığa giriş dersidir. Temel konular Gödel'in tamlık ve eksiklik teoremleridir.

MATH 683 Cebirsel Sayılar Teorisi. Değişmeli cebirin temel kavramlarının tekrarı, Ayrık değerlendirme halkası, Dedekind bölgesi, Ideallerin çarpanlara ayrılması, Ideal sınıf grubu, Sayı cisimlerinin sınıf sayısı ve bunun sonuçları, Dirichlet'nin birim teoremi, Cyclotomic genişlemeler, cyclotomic cisimlerin sınıf sayısı, Diophantine eşitlikleriyle ilgili uygulamalar, Fermat'nın son teoremi, Kummer'in teoremi.

MATH 685 Ölçü Kuramı. Ölçüm uzayı. l^p uzayı. Dirak dağılımı. Ölçümlerin ayrışımı. Radon Nykodym Teorem. Dış ölçü. Caratheodory genişleme teoremi. E^n de N-boyutlu aralıklar. E^n de Lebesgue ölçümü. Ölçülebilir kümeler ve fonksiyonlar. E^n de Lebesque integrallerinin tanımı. L^p uzayları(E^n). Ötelenmiş İntegraller, Fubini Teoremi. Değişken değiştirme formülleri. Yakınsaklık teoremleri. İntegral altında differansiyel. Eğriler ve differansiyel 1-formlar. Doğru integraller. Green Teoremi. Haar ölçüsü.

MATH 687 Kompleks Analiz. Kompleks sayıların metrik uzayı ve topolojisi. Kuvvet serileri. Analitik fonksiyonlar. Möbius dönüşümleri. Rimann İntegrali, analitik fonksiyonların kuvvet serileri ile gösterimi, analitik fonksiyonların sıfır yerleri. Kapalı eğrinin indeksi, Cauchy teorem ve integral formülü.

MATH 689 Fonksiyonel Analiz. Hilbert uzaylarının tanımı, örnekleri, Riesz yardımcı teoremi ve uygulamaları (Radon-Nikodym Teoremi). Birim dikey bazlar. Ayrılabilir Hilbert uzayları. Hilbert uzaylarının tensör çarpımları. Banach uzaylarının tanımı ve örnekleri. Dual ve dual uzaylar. Hahn-Banach Teoremi. Banach uzaylarında operatörler. Baire Teoremi ve sonuçları (Düzgün yakınsaklık prensibi, açık dönüşüm teoremi, ters dönüşüm teoremi). Topolojik uzaylar. Ağlar ve yakınsaklık, kompaktlık, Stone-Weierstrass teoremi, kompakt uzaylarda ölçü teorisi, Banach uzaylarında zayıf topolojiler.

BAHAR DÖNEMİ

MATH 512  Kümeler Kuramı IIEn az sayıda aksiyom kullanarak sayı sistemlerinin inşası:N, Z, Q, R. Peano aritmetiği, tümevarımla kanıt ve diğer kanıt yöntemleri. Ordinal ve kardinaller. Yerleştirme ve Seçim aksiyomları, Zorn Önsavı, König Önsavı.

MATH 513 Sayılar Teorisi. Tek türlü çarpanlara ayrıma, tek türlü çarpanlara ayırma uygulamaları, kongruans, U(Z/nZ) iki tarafllı kudratik'in yapısı. İki taraflı Gauss toplamları, sonlu cisimler, Gauss ve Jacobi toplamları, sonlu cisim denklemleri, Weyl varsayımı.

MATH 516 Cebir II. Tek Türlü Çarpanlarına Ayrılan Bölgeler, Temel İdeal Bölgeleri, Gauss sayıları, Noetherian Halkaları, Hilbert'in Temel Teoremi, kuvvet serileri. Cisimler, sonlu cisim örnekleri, tamlık bölgesinin bölüm cismi, cisim üzerinde polinom halkaları. Öklid Algoritması. Cisim Genişlemeleri. Kompleks Sayılar, Cebrin Temel Teoremi. Quaternionlar, Seçme Aksiyomu ve Zorn yardımcı teoremi ve cebire ait uygulamaları. p-sel sayılar. Moduller, vektör uzayları. Tensör Çarpımları. Dış cebirleri.

MATH 520 Cebir II. Grup Teorisi: Gruplar, altgrup, devirsel gruplar, permütasyon grupları, abelyen gruplar, grupların direkt toplamı ve çarpımı, Cauchy ve Lagrange teoremleri, normal altgrup, bölüm grubu, grup morfizma ve izomorfizmaları, çekirdek, imge, grup teorisinin temel teoremleri. Yarıçarpım. Üreteçler ve ilişkiler. Grup etkisi. Sylow altgrupları ve teoremi. Halkalar Kuramı: Halkalar, althalkalar, idealler, ideallerle işlemler, bölüm halkası, morfizmalar, çekirdek, izomorfizmalar, temel teoremler. Polinom, tamsayı ve kuvvet serileri halkaları. Öklid algoritması. Tamlık bölgeleri. Karakteristik. Abelyen grupların endomorfizmaları. Asal ve maksimal idealler, maksimal ideallerin varlığı. TÜİB'ler, Öklid bölgeleri, TÇB'ler ve Noether halkaları. Hilbert taban teoremi. Cisimler Kuramı: Sonlu cisimler, bölüm cisimleri. Cisim genişlemeleri. Cebirsel kapanış. Gauss tamsayıları ve sayı cisimleri. Modüller Kuramı: Modüller ve vektör uzayları, altmodüller, indirgenemez altmodüller, Schur önsavı, lineer bağımsızlık, üreteçler, özgür modüller, taban, boyut, morfizmalar, matris halkaları, tersinir matrisler, taban değişimi, lineer denklem sistemleri. Eigen-values ve eigen-vectors. Diagonalleşme. Jordan doğal formu. Matrislerin karakteristik ve minimal polinomları. Cayley-Hamilton teoremi. Abelyen gruplar: Sonlu eleman tarafından gerilmiş abelyen grupların sınıflandırılması. Bölünebilir abelyen gruplar, abelyen grupların saf altgrupları. Sonlu abelyen grupların endomorfizmaları ve otomorfizmaları Prüfer p-grupları, p-sel sayılar. Tensor çarpımı ve dış cebir. Çifte doğrusal ve kuadratik formlar. Düal vektör uzayları.

MATH 546 Cisim Teorisi ve Galois Teorisi. Halkalar kuramıyla ilgili genel tekrar. Nilradikal ve Jacobson radikal. Modüller, serbest modüller. Cayley-Hamilton teoremi ve Nakayama önsavı. Modüllerin tam dizileri. Modüllerin tensör çarpımı. Cebirlerin tensör çarpımı. Halka ve modüllerin yerelleştirilmesi. Modüller üzerinde zincir koşulları. Noetherian ve Artinian modüller. Noetherian halkalar ve asalımsı ayrışım. Artinian halkalar. Yerel halkalar ve ayrık değer halkaları.

MATH 582 Analiz II. Riemann integrali ve temel özellikleri. İntegrallenebilir fonksiyonların karakterizasyonu: Lebesgue'in teoremi. İntegral ve türev arasındaki ilişkiler. Seriler ve mutlak yakınsama. Yakınsaklık kriterleri ve örnekler. Fonksiyon dizileri ve düzgün yakınsama. Kuvvet serileri ve yakınsaklık yarıçapı. Düzgün yakınsama ve süreklilik. Düzgün yakınsama ve integral. Düzgün yakınsama ve türev. Üstel fonksiyon ve logaritma. Euler sabiti. Trigonometrik ve ters trigonomterik fonksiyonlar. İntegral alma teknikleri. Türev, integral ve kuvvet serileriyle ilgili seçme problemler. Basit Fizik uygulamaları.

MATH 584 Analiz IV. Riemann İntegrali. Diffeomorfizmalar. Gradiyent, teğet düzlemi. Çok değişkenli fonksiyonların ekstremleri. Lagrange çarpımları. Ortogonal eğrisel doğru koordinatları (kutupsal, küresel ve silindirik koordinatlar) Iraksak, bükük ve Laplace operatörleri. Çok katlı integrallerin dönüşümü. Vektör cisimlerin doğru ve yüzey integralleri. Diferansiyel Formlar. Green, Gauss ve Stoks teoremleri. Nokta-küme topolojisi: Açık ve kapalı kümeler, komşuluklar, iç, sınır, kapanış, yoğun kümeler, altuzaylar, diziler, dizilerin limiti, süreklilik, homeomorfizmalar, çarpım topolojisi. Metrik uzaylar, normlanmış vektör uzaylar, tamlık. Kompaktlık ve bağlantılılık. Fonksiyonların düzgün yakınsaklığı. Afaonksiyon dizilerin basit ve düzgün yakınsaklığı. Tychonoff Teoremi, kompakt ve bağlantılı uzaylar. Büzülmeler. Sabit Nokta Teoremi. Konvekslik. Sayılabilirlik ve Ayrılma aksiyomları.

MATH 623 Cebirsel Eğriler.  Afin cebirsel kümeler, Zariski topolojisi. Hilbert's nullstellensatz. Sadeleştirilemez komponentler, afin cebirsel küme morfizmaları, rasyonel fonksiyonlar, lokal halkalar, lokalleştirme. Düzgün ve Tekil noktalar. Ayrık değer halkaları. İki eğrinin kesişim noktalarının sayısı. Bezout Teoremi. Bileşke. Formel seriler halkası, yakınsak seriler halkası. Puiseux' teoremi.

MATH 624 Olasılık. Bu ders ölçü kuramına dayalı olasılığa bir giriştir. Rastgele değişkenler, dağılımlar, bağımsızlık, beklenti ve varyans, martingale gibi temel tanıtılmaktadır. Somut problemlerde uygulamalar gösterilmektedir. Büyük Sayılar Kanunu, Kolmogorov 0-1 Kanunu gibi kimi klasik sonuçlar da kanıtlanmaktadır.


MATH 642 Manifoldlar Üzerinde Analiz. Bu ders Soyut Manifold Teorisi'ne giriş niteliğindedir. Türevli manfoldlarla ilgili temel kavramların tanıtılmasından sonraki bölümde temel hedef integrasyon teorisi ve Stokes Teoremi'nin ispatıdır. Konu başlıkları şöyle özetlenebilir: Manifold kavramı, türevli yapılar, türevli fonksiyonlar, teğet uzay ve teğet vektörler, kovektörler, vektör ve kovektör alanları, tensörler, tensör alanları, formlar, dış türev, yönlendirilebilirlik, manifoldlarda integral, Stokes Teoremi.

MATH 654 Model Teori. Bu model kuramına başlangıç seviyesinde bir derstir. İlk kısımda Tarski ve Robinson okullarının klasik teoremleri kanıtlanacaktır. İkinci ksımda tip uzaylarına odaklanılacaktır. Temel konular Ryll-Nardzewski teoremi ve Morley mertebesi olacaktır.

MATH 691 Diferansiyel Geometri. Parametrik eğriler. Düzgün Eğriler, Frenet formülleri, eğrilik, burulma. Düzlem eğrilerinin global özellikleri. Düzgün yüzey, teğet (tanjant) düzlem, Birinci temel form, Gauss Dönüşümü ve ikinci temel form. Kısımsal eğrilik, temel yönler ve asimptotlar. Çizgisel yüzeyler ve minimal yüzeyler. İzometriler ve konform dönüşümler. Geodezikler. Üstel dönüşümler. Gauss-Bonnet Teoremi.